1730年，被称为“世界四大数学家雄狮”之一的瑞士数学家及物理学家欧拉，时年23岁，正值风华茂盛。他出手不凡，给出了一个出色的定理：每一个偶完全数都是形如2^(p-1)(2^p-1)的自然数，其中p是素数，2^p-1也是素数。这是欧几里得定理的逆定理。有了欧几里得和欧拉两个互逆定理，公式2^(p-1)(2^p-1)就成为判断一个偶数是不是完美数的充要条件了。从那时起，偶完美数已成为了2^p-1型素数的“副产品”。
法国哲学家、数学家及物理学家笛卡尔曾公开预言：“能找出完美数是不会多的，好比人类一样，要找一个完人亦非易事。”历史证实了他的预言。2600多年来，人们历尽艰辛，一共才找到51个完美数。有趣的是，这些完美数都是偶数；其个位数要么是6，要么就是8。而奇完美数至今还没有被发现；如果有的话，其形式必然是12^p+1或36^p+9的形式，其中p是素数。
2^p-1型素数被数学界称为梅森素数，它是以17世纪法国数学家梅森命名的。梅森素数是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探究的热点和难点之一。目前，世界上有近200个国家和地区超过24万人参加一个名为“互联网梅森素数大搜索（GIMPS）”的国际项目，并动用了超过244万核中央处理器（CPU）联网来寻找新的梅森素数。可见，梅森素数的探究非常火爆——这在数学史上前所未有，在科学史上也极为罕见。
值得一提的是，在梅森素数的基础研究方面，中国数学家及语言学家周海中经过长期的探究，于1992年给出了梅森素数分布的精确表达式；这一研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。美籍挪威数论大师及菲尔茨奖和沃尔夫奖获得者阿特勒·塞尔伯格指出：“周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上。”周氏猜测已有30年历史，这一猜测至今尚未被破解，它已成为著名的数学难题。
前不久，来自美国佛罗里达州的互联网专家及数学爱好者帕特里克·拉罗什利用GIMPS项目，成功发现第51个梅森素数2^82589933-1。这等于发现了第51个偶完美数2^82589932（2^82589933-1），该数有49724095位，是目前人类已知的最大完美数；如果用普通字号将它打印下来，其长度将超过200公里！
其实，完美数目前并不“完美”，它还有一些谜团尚未解决。例如：完美数是有限还是无穷多个？存在不存在奇完全数？这是当今数论领域的两大著名难题。这些难题与其它科学难题一样，有待人们去攻克。正如德国数论专家西格尔所言：“待到它们被完全破解时，完美数才算是真正的完美数。”
尽管我们现在还看不到完美数的实际用处，但它反映了自然数的某些基本规律。探究自然规律，揭开科学上的未知之谜，正是科学追求的目标。让我们以数学大师希尔伯特的名言来结束这篇短文：“我们必须知道，我们必将知道。”
文/李超（作者单位：法国巴黎综合理工学院数学研究中心）
